Poisson Regression

Relative Risk for Poisson Regression

Poisson Regression

• Target(\(y\))이 이산형(Discrete)로 셀 수 있는 Count Data일 때 사용

• 관심있는 모수(Parameter) : \(y\)의 평균 \(\lambda_{i}=E(y_{i})\) \[\begin{align*} y_{i} &\thicksim Poisson(\lambda_{i}), \;\; \lambda_{i} = E(y_{i})\\ \eta_{i} &= \log{\lambda_{i}} = \beta_{0}+ \sum_{j} \beta_{j}x_{ji}\\ \beta_{j} &\thicksim Normal \end{align*}\]

• \(\exp(\beta_{0})\)

  • 수치형 : 예측변수들이 0일 때 평균 사건 수
  • 범주형 : Reference Category일 때 평균 사건 수

• \(\exp(\beta_{j})\)

  • 예측변수들이 1단위 변화할 때 \(y\)의 평균 변화

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Relative Risk

실제로 \(y\)의 평균 보다 "Rate" or "Relative Risk"에 더 관심있으며, Poisson Regression의 목적은 Relative Risk을 추정하는 것이다. 왜냐하면 단순히 “수”로는 어느 게 크고 작은지 또는 높고 낮은지 정확하게 판단할 수 있는 기준이 없기 때문이다.

\[\begin{align*} y_{i} &\thicksim Poisson(\lambda_{i}), \;\; \lambda_{i} = E_{i}\rho_{i}\\ \eta_{i} &= \log{\rho_{i}}= \log{\frac{\lambda_{i}}{E_{i}}} = \beta_{0}+ \sum_{j} \beta_{j}x_{ji}\\ \beta_{j} &\thicksim Normal \end{align*}\]

• \(E_{i}\) : Offset
• \(\rho_{i}\) : "Rate" or "Relative Risk"
• \(\exp(\beta_{0})\)
  • 수치형 : 예측변수들이 0일 때 평균 사건 수
  • 범주형 : Reference Category일 때 평균 사건 수
• \(\exp(\beta_{j})\) :
  • 수치형 : \(x_{ji}\)이 1 증가할 때 "Rate" or "Relative Risk"의 변화
  • 범주형 : Reference Category와 비교할 때 "Rate" or "Relative Risk"의 변화

Real Data

Loading Data

pacman::p_load("maptools",     # For readShapePoly
               "spdep",        # For poly2nb
               "dplyr", 
               "ggplot2",
               "RColorBrewer", # For brewer.pal
               "INLA")



dat.2019   <- read.csv("2019_crime.csv",header=T) 

# Convert rows in the order of ESPI_PK
dat.2019 <- dat.2019[order(dat.2019$ESRI_PK),]

head(dat.2019)

   ESRI_PK year district rape pop_total pop_femal sec_fac
10       0 2019   도봉구   90    335631    171670      10
12       1 2019   은평구  194    484546    251186      22
6        2 2019 동대문구  168    363023    184533      21
20       3 2019   동작구  251    408912    211206      18
18       4 2019   금천구  153    251820    122866      13
17       5 2019   구로구  226    439371    219769      17
   safe_return_use
10           12602
12           10145
6            20776
20           18766
18           17946
17           15233

---

Loading .shp

seoul.map   <- maptools::readShapePoly("./TL_SCCO_SIG_W_SHP/TL_SCCO_SIG_W.shp")   # Call .shp file
seoul.nb    <- poly2nb(seoul.map)      # Builds a neighbours list based on regions with contiguous boundaries
seoul.listw <- nb2listw(seoul.nb)      # Supplements a neighbours list with spatial weights for the chosen coding scheme
seoul.mat   <- nb2mat(seoul.nb)        # Generates a weights matrix for a neighbours list with spatial weights for the chosen coding scheme
                                       # Object of class "nb"

Mapping

Frequency

• 빈도로는 단순히 강남과 서초구가 가장 높게 나오지만 우리는 (600,700] 구간이 얼마나 빈도가 많은건지 정확하게 알 수 없다.

Relative Risk

or   <- dat.2019$rape
E    <- dat.2019$pop_total*( sum(dat.2019$rape) / sum(dat.2019$pop_total))
or.p <- dat.2019$rape/E

\[\begin{align*} \hat{\rho} = \frac{y_{i}}{E_{i}} = \frac{y_{i}/n_{i}}{\sum y_{i}/ \sum n_{i}} \end{align*}\]

• 가장 많이 사용되는 Offset은 전체지역의 전반적인 비율이다.

• 1보다 크면 \(\frac{y_{i}}{n_{i}}\) 가 \(\frac{\sum y_{i}}{\sum n_{i}}\)보다 큰 것이므로 \(i\)번째 지역의 비율은 전체 지역의 비율보다 크다.
  • 즉, \(\frac{\sum y_{i}}{\sum n_{i}}\)라는 비교 대상이 있으므로 어느정도 큰 것인지 알 수 있다.