Summary of Poisson Regression in Spatio-Temporal Model
Target(\(y\))이 셀 수 있는 이산형(Discrete)일 때 사용하는 모형
관심있는 모수(Parameter) : \(y\)의 평균 \(\lambda_{i}=E(y_{i})\) \[\begin{align*} y_{i} &\thicksim Poisson(\lambda_{i}), \;\; \lambda_{i} = E(y_{i})\\ \eta_{i} &= \log{\lambda_{i}} = \beta_{0}+ \sum_{j} \beta_{j}x_{ji}\\ \beta_{j} &\thicksim Normal \end{align*}\]
\(\exp(\beta_{0})\)
\(\exp(\beta_{j})\)
실제로 \(y\)의 평균 보다 "Rate" or "Relative Risk"에 더 관심있으며, Poisson Regression의 목적은 Relative Risk을 추정하는 것이다. 왜냐하면 단순히 “수”로는 어느 게 크고 작은지 또는 높고 낮은지 정확하게 판단할 수 있는 기준이 없기 때문이다.
\[\begin{align*} y_{i} &\thicksim Poisson(\lambda_{i}), \;\; \lambda_{i} = E_{i}\rho_{i}\\ \eta_{i} &= \log{\rho_{i}}= \log{\frac{\lambda_{i}}{E_{i}}} = \beta_{0}+ \sum_{j} \beta_{j}x_{ji}\\ \beta_{j} &\thicksim Normal \end{align*}\]
"Rate" or "Relative Risk""Rate" or "Relative Risk"의 변화"Rate" or "Relative Risk"의 변화실제로 상대적 위험(Relative Risk)의 추정값으로 가장 많이 쓰이는 것은 SMR(Standardized Mortality Ratio)이다.
\[\begin{align*} \hat{\rho}_{i} = \frac{y_{i}}{E_{i}} \end{align*}\]
\(y_{i}\) : \(i\)에서의 결과값
\(E_{i}\) : \(i\)에서의 예측된 값
\(\hat{\rho}_{i}>1\) : 예상된 것보다 위험이 높다.
\(\hat{\rho}_{i}=1\) : 예상된 것과 같다.
\(\hat{\rho}_{i}<1\) : 예상된 것보다 위험이 낮다.
공간적 패턴을 파악하거나 상대적 위험(Relative Risk)이 높고 낮은 지역 식별흔하게 사용하는 예상되는 수 (\(E_{i}\))는 \[\begin{align*} E_{i} = n_{i}\frac{\sum y_{i}}{\sum n_{i}}, \end{align*}\]
(참고 : Bayesian Disease Mapping: Hierarchical Modeling in Spatial Epidemiology p.85)
\[\begin{align*} \hat{\rho_{i}} &= \frac{y_{i}}{E_{i}} = \frac{y_{i}/n_{i}}{\sum y_{i}/ \sum n_{i}}. \end{align*}\]
\(i\)번째 지역에서의 결과값을 \(y_{i}\)라고 할 때,
\[\begin{align*} y_{i} &\thicksim Poisson(\lambda_{i}), \;\; \lambda_{i} = E_{i}\rho_{i}\\ \eta_{i} &= \log{\rho_{i}} = b_{0} + u_{i} + v_{i} \end{align*}\]
공간 의존성(Spatial Dependency)을 포함
\[\begin{align*} &u_{i} \vert u_{-i} \thicksim N(m_{i}, s^2_{i}),\\ &m_{i} = \frac{\sum_{j \in \mathcal{N}_{i}} u_{j}}{{\# \mathcal{N}_{i}}} ,\;\; s^2_{i} = \frac{\sigma^2_{u}}{\# \mathcal{N}_{i}}, \end{align*}\]
\(\mathcal{N}_{i}\) : \(i\) 번째 지역과 근접한 이웃 지역 집합
\(\# \mathcal{N}_{i}\) : \(i\) 번째 지역과 근접한 이웃 지역 갯수
\(m_{i}\) : \(i\) 번째 지역과 근접한 이웃 지역들의 \(u_{j}\) 평균
\(s^2_{i}\) : 근접한 이웃 수에 의존
공간 상관관계는 iCAR을 사용
\[\begin{align*} v_{i} \thicksim N(0, \sigma^2_{v}) \end{align*}\]
BYM Model에서의 모수 (Parameter)는 \(log{\tau_{u}}\), \(log{\tau_{v}}\) , where \(\tau_{u} = 1/{\sigma^2_{u}}\), \(\tau_{v} = 1/{\sigma^2_{v}}\)
\(u_{i}\)와 \(v_{i}\)는 독립적으로 해석할 수 없으며, 오직 \(\xi_{i}=u_{i}+v_{i}\)로 공간 효과를 식별할 수 있다.
흔하게 사용하는 예상되는 수 (\(E_{it}\))는 \[\begin{align*} E_{it} = n_{it}\frac{\sum_{t}\sum_{i} y_{it}}{\sum_{t}\sum_{i} n_{it}}, \end{align*}\]
(참고 : Bayesian Disease Mapping: Hierarchical Modeling in Spatial Epidemiology p.293)
\[\begin{align*} \hat{\rho_{it}} &= \frac{y_{it}}{E_{it}} = \frac{y_{it}/n_{it}}{\sum_{t}\sum_{i} y_{it}/\sum_{t}\sum_{i} n_{it}}. \end{align*}\]
\(t\)시간에서 \(i\)번째 지역의 결과값을 \(y_{it}\)라고 할 때, \[\begin{align*} y_{it} &\thicksim Poisson(\lambda_{it}), \;\; \lambda_{it} = E_{it}\rho_{it}\\ \eta_{it} &= \log{\rho_{it}} = b_{0} + u_{i} + v_{i} + (\beta+\delta_{i})*t\\ \delta_{i} &\thicksim N(0, \sigma^2_{\delta}) \end{align*}\]
➤ Classical Parametric Trend는 선형추세만을 가정한다
\(t\)시간에서 \(i\)번째 지역의 결과값을 \(y_{it}\)라고 할 때, \[\begin{align*} y_{it} &\thicksim Poisson(\lambda_{it}), \;\; \lambda_{it} = E_{it}\rho_{it}\\ \eta_{it} &= \log{\rho_{it}} = b_{0} + u_{i} + v_{i} + \gamma_{t} + \phi_{t} \end{align*}\]
➤ Nonparametric Dynamic Trend는 선형성 조건을 완하하기 위하여 Dynamic nonparametric 형태를 취한다.
Nonparametric Dynamic Trend는 시간적으로 구조화된 요소(\(\gamma_{t}\))와 비구조화된 요소(\(\phi_{t}\)) 두 가지를 모두 고려한다.
Nonparametric Dynamic Trend에서 구조화된 시간 효과(\(\gamma_{t}\))는 Random Walk(RW)를 사용하여 모형화한다.
\[\begin{align*} \gamma_{t} \vert \gamma_{t-1} \thicksim N(\gamma_{t-1}, \sigma^2_{\gamma}), \text{RW of order 1},\\ \gamma_{t} \vert \gamma_{t-1}, \gamma_{t-2} \thicksim N(2\gamma_{t-1} + \gamma_{t-2}, \sigma^2_{\gamma}), \text{RW of order 2} \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \phi_{t} \thicksim N(0, \sigma^2_{\pi}) \end{align*}\]
공간 및 시간 모형은 전반적인 공간과 시간 패턴을 파악하기 때문에, 모든 시간 또는 모든 공간에 대해 변하지 않는다. 그렇기 때문에 시공간 상호작용은 공간과 시간의 주요 요인으로 설명되지 않는 추과 효과를 포착할 수 있다. 또한 시간에 따른 공간 패턴도 파악 할 수 있으며, 각 지역의 추세도 파악할 수 있다. 시공간 상호작용은 다음과 같은 네가지의 Type을 가진다.
| Interaction | Parameter interacting |
|---|---|
| Type I | \(v_{i}\) and \(\phi_t\) |
| Type II | \(v_{i}\) and \(\gamma_t\) |
| Type III | \(u_{i}\) and \(\phi_t\) |
| Type IV | \(u_{i}\) and \(\gamma_t\) |
\(t\)시간에서 \(i\)번째 지역의 결과값을 \(y_{it}\)라고 할 때, \[\begin{align*} y_{it} &\thicksim Poisson(\lambda_{it}), \;\; \lambda_{it} = E_{it}\rho_{it}\\ \eta_{it} &= \log{\rho_{it}} = b_{0} + u_{i} + v_{i} + \gamma_{t} + \phi_{t} + \delta_{it} \end{align*}\]
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