1. 기초 행렬 대수
- 다변량 분석방법을 이해하는데 필수적인 행렬 대수(Matrix Algebra)의 기본적 개념에 대해 알아보고자 한다.
1-1. 행렬의 정의
- 행렬(Matrix) : 숫자를 행과 열에 맞추어 직사각형 또는 정사각형
모양으로 정렬한 배열
- 배열된 수를 그 행렬의 성분(Entries)이라고 한다. \[ \mathbf{X}_{n\times p} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1p}\\ x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{np}\\ \end{pmatrix} \]
- 행렬은 열벡터 또는 행벡터로 구성된다.
- 열벡터 : 한 개의 열로만 이루어진 행렬 \[
\mathbf{X}_{n\times 1} = \begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n} \\
\end{pmatrix}
\]
- 행벡터 : 한 개의 행으로만 이루어진 행렬 \[ \begin{align} \mathbf{X}_{1\times n} = \left(x_{1} \ldots x_{n}\right) \end{align} \]
- 열벡터 : 한 개의 열로만 이루어진 행렬 \[
\mathbf{X}_{n\times 1} = \begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n} \\
\end{pmatrix}
\]
- R에서 행렬을 생성하기 위해서는 함수
matrix(성분, nrow, byrow = FALSE)를 이용한다.성분: 행렬의 성분nrow: 행의 수byrow: 성분을 행으로 나열할 것인지를 나타내는 논리값
# 예제 11
## 행렬 성분
entries <- c(1, 5, 10, 3, 2, 9, 5, 14, 38, 18, 26, 5)
## 행렬 생성
matrix(entries, nrow = 3, byrow = FALSE)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 3 5 18
[2,] 5 2 14 26
[3,] 10 9 38 5matrix(entries, nrow = 3, byrow = TRUE)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 10 3
[2,] 2 9 5 14
[3,] 38 18 26 5# 예제 22
## 행렬 성분
entries <- 1:30
## 행렬 생성
matrix(entries, nrow = 6, byrow = FALSE)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 7 13 19 25
[2,] 2 8 14 20 26
[3,] 3 9 15 21 27
[4,] 4 10 16 22 28
[5,] 5 11 17 23 29
[6,] 6 12 18 24 30matrix(entries, nrow = 6, byrow = TRUE)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 3 4 5
[2,] 6 7 8 9 10
[3,] 11 12 13 14 15
[4,] 16 17 18 19 20
[5,] 21 22 23 24 25
[6,] 26 27 28 29 30- R에서 기본적으로 제공하는 주요 행렬연산함수는 다음과 같다.
1-1-1. 특정 형태를 갖는 행렬
정방행렬
- 정방행렬(Square Matrix) : 행과 열의 크기가 같은 정사각형꼴의 행렬 \[ \mathbf{X}_{n\times n} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{nn}\\ \end{pmatrix} \]
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 3 8
[2,] 10 9 14
[3,] 4 16 7entries <- 1:16
matrix(entries, nrow = 4)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 9 13
[2,] 2 6 10 14
[3,] 3 7 11 15
[4,] 4 8 12 16대각행렬
- 대각행렬(Diagonal Matrix) : 대각선이 아닌 곳에서는 0을 성분으로 갖는
정방행렬 \[
\mathbf{D}_{p\times p} = \begin{pmatrix}
x_{11} & 0 & \ldots & 0\\
0 & x_{22} & \ldots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & x_{pp}\\
\end{pmatrix}
\]
- R에서 함수
diag(벡터)를 통해 대각행렬을 생성할 수 있다.
- R에서 함수
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 10 0 0 0 0
[2,] 0 13 0 0 0
[3,] 0 0 8 0 0
[4,] 0 0 0 1 0
[5,] 0 0 0 0 3# 예제 22
diag(1:10)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[2,] 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
[3,] 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0
[4,] 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0
[5,] 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0
[6,] 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0
[7,] 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0
[8,] 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0
[9,] 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0
[10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10항등행렬
- 항등행렬(Identity Matrix) : 대각성분은 1이고, 나머지는 0을 성분으로
갖는 정방행렬
- 보통 \(\mathbf{I}\)로 표기한다. \[ \mathbf{I}_{p\times p} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1\\ \end{pmatrix} \]
- R에서 함수
diag(정수)를 통해 항등행렬을 생성할 수 있다.
# 예제 11
diag(5)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 0 0 0 0
[2,] 0 1 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0
[4,] 0 0 0 1 0
[5,] 0 0 0 0 1# 예제 22
diag(10)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[2,] 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
[4,] 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
[5,] 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
[6,] 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
[7,] 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
[8,] 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
[9,] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
[10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1전치행렬
- 전치행렬(Transpose Matrix) : 행렬 내의 성분을 대각선 기준으로 서로
위치를 바꾼 행렬
- 행렬 \(\mathbf{X}\)의 전치행렬을 \(\mathbf{X}^{T}\)로 표기한다. \[ \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1p}\\ x_{21} & x_{22} & \ldots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \ldots & x_{np}\\ \end{pmatrix} \to \mathbf{X}^{T} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{21} & \ldots & x_{n1}\\ x_{12} & x_{22} & \ldots & x_{n2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{1p} & x_{2p} & \ldots & x_{np}\\ \end{pmatrix} \]
- R에서 함수
t(행렬)을 이용하여 전치행렬을 생성할 수 있다.
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 38
[2,] 5 9 18
[3,] 10 5 26
[4,] 3 14 5# 전치행렬NAt(X)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 5 10 3
[2,] 2 9 5 14
[3,] 38 18 26 5# 예제 22
X <- matrix(1:10, nrow = 2)
X
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 3 5 7 9
[2,] 2 4 6 8 10# 전치행렬NAt(X)
[,1] [,2]
[1,] 1 2
[2,] 3 4
[3,] 5 6
[4,] 7 8
[5,] 9 10대칭행렬
- 대칭행렬(Symmetric Matrix) : 정방행렬에서 대각선 기준으로 대칭인 두
성분이 같은 행렬
- 즉, \(x_{ij} = x_{ji}\)
\[ \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1p}\\ x_{12} & x_{22} & \ldots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{1p} & x_{2p} & \ldots & x_{pp}\\ \end{pmatrix} \]
[,1] [,2] [,3]
[1,] 8 1 4
[2,] 1 3 7
[3,] 4 7 6 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 0 0
[2,] 2 0 1 1
[3,] 0 1 1 1
[4,] 0 1 1 01-2. 행렬의 연산
1-2-1. 합과 차
두 행렬 \(\mathbf{A}\)와 \(\mathbf{B}\)이 각각 다음과 같다고 가정하자. \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{np}\\ \end{pmatrix},\;\;\; \mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{12} & b_{12} & \ldots & b_{1p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{np} & b_{np} & \ldots & b_{np}\\ \end{pmatrix} \]
행렬의 합 \(\mathbf{A}+\mathbf{B}\)는 대응되는 성분들끼리 더한 행렬과 같다.
\[ \mathbf{A}+\mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12}& \ldots & a_{1p}+ b_{1p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1}+ b_{n1} & a_{n2} + b_{n2}& \ldots & a_{np}+ b_{np}\\ \end{pmatrix} \]
- 행렬의 차 \(\mathbf{A}-\mathbf{B}\)는 대응되는 성분들끼리 뺀 행렬과 같다.
\[ \mathbf{A}-\mathbf{B} = \begin{pmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12}& \ldots & a_{1p}- b_{1p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1}- b_{n1} & a_{n2} - b_{n2}& \ldots & a_{np}- b_{np}\\ \end{pmatrix} \]
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 10 8 11
[2,] 5 12 17 2 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 18 10 1 3
[2,] 12 9 4 7## 행렬 더하기NAA+B
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 19 20 9 14
[2,] 17 21 21 9## 행렬의 차NAA-B
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -17 0 7 8
[2,] -7 3 13 -5# 예제 22
## 행렬 AA <- matrix(1:10, nrow = 5)
A
[,1] [,2]
[1,] 1 6
[2,] 2 7
[3,] 3 8
[4,] 4 9
[5,] 5 10## 행렬 BB <- matrix(21:30, nrow = 5)
B
[,1] [,2]
[1,] 21 26
[2,] 22 27
[3,] 23 28
[4,] 24 29
[5,] 25 30## 행렬 더하기NAA+B
[,1] [,2]
[1,] 22 32
[2,] 24 34
[3,] 26 36
[4,] 28 38
[5,] 30 40## 행렬의 차NAA-B
[,1] [,2]
[1,] -20 -20
[2,] -20 -20
[3,] -20 -20
[4,] -20 -20
[5,] -20 -201-2-2. 곱
- 두 행렬 \(\mathbf{A}\)와 \(\mathbf{B}\)이 각각 다음과 같다고 가정하자.
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nk}\\ \end{pmatrix},\;\;\; \mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{k1} & b_{k2} & \ldots & b_{kp}\\ \end{pmatrix} \]
- 그러면, 행렬의 곱 \(\mathbf{A}\mathbf{B}\)은 다음과 같다.
\[ \mathbf{AB} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1k}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nk}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{k1} & b_{k2} & \ldots & b_{kp}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{k} a_{1i}b_{i1} & \sum_{i=1}^{k} a_{1i}b_{i2} & \ldots & \sum_{i=1}^{k} a_{1i}b_{ip}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{k} a_{ni}b_{i1} & \sum_{i=1}^{k} a_{ni}b_{i2} & \ldots & \sum_{i=1}^{k} a_{ni}b_{ip}\\ \end{pmatrix} \]
- R에서 연산자
%*%를 통해 행렬곱을 계산할 수 있다.
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 10 8 11
[2,] 5 12 17 2 [,1] [,2]
[1,] 18 1
[2,] 12 4
[3,] 10 3
[4,] 9 7## 행렬의 곱NAA%*%B
[,1] [,2]
[1,] 317 142
[2,] 422 118# 예제 22
## 행렬 AA <- matrix(1:10, nrow = 5)
A
[,1] [,2]
[1,] 1 6
[2,] 2 7
[3,] 3 8
[4,] 4 9
[5,] 5 10## 행렬 BB <- matrix(21:30, nrow = 2)
B
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 21 23 25 27 29
[2,] 22 24 26 28 30## 행렬의 곱NAA%*%B
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 153 167 181 195 209
[2,] 196 214 232 250 268
[3,] 239 261 283 305 327
[4,] 282 308 334 360 386
[5,] 325 355 385 415 4451-3. 직교행렬
- \(\mathbf{Q}\mathbf{Q}^{T}=\mathbf{Q}^{T}\mathbf{Q}=\mathbf{I}\)을
만족하는 정방행렬 \(\mathbf{Q}\)를
직교행렬(Orthogonal Matrix)이라고 한다.
[,1] [,2]
[1,] 0.6 -0.8
[2,] 0.8 0.6Q %*% t(Q)
[,1] [,2]
[1,] 1 0
[2,] 0 1t(Q) %*% Q
[,1] [,2]
[1,] 1 0
[2,] 0 1 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0 0 1
[2,] 1 0 0
[3,] 0 1 0Q %*% t(Q)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1t(Q) %*% Q
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 11-4. 행렬식
정방행렬 \(\mathbf{A}\)에 대한 행렬식을 \(|\mathbf{A}|\) 또는 det\((\mathbf{A})\)로 표기한다.
\(2\times 2\) 행렬 \(\mathbf{A}\)에 대한 행렬식 계산은 다음과 같다. \[ \text{det}(\mathbf{A}) = \text{det}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}={a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \]
\(3\times 3\) 행렬 \(\mathbf{A}\)에 대한 행렬식 계산은 다음과 같다. \[ \text{det}(\mathbf{A}) = \text{det}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-(a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{22}a_{31}) \]
\(4\times 4\)부터 행렬식 계산은 어려워지는 단점이 있다.
R에서 함수
det()를 이용하면 쉽게 행렬식을 얻을 수 있다.
[,1] [,2]
[1,] 1 10
[2,] 5 12det(A)
[1] -38 [,1] [,2] [,3]
[1,] 18 9 3
[2,] 12 1 7
[3,] 10 4 16det(B)
[1] -1200# 예제 33
## 행렬 MM <- matrix(c(2, 5, 7, 9, 4, 10, 18, 19, 12, 13, 16, 11, 22, 29, 24, 20), nrow = 4)
M
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 4 12 22
[2,] 5 10 13 29
[3,] 7 18 16 24
[4,] 9 19 11 20det(M)
[1] -13501-5. 역행렬
정방행렬 \(\mathbf{A}\)에 대해 역행렬(Inverse Matrix) \(\mathbf{A}^{-1}\)는 유일하게 존재하며, 다음을 만족한다. \[ \begin{align*} \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I} \end{align*} \]
- 만약 이와같은 역행렬이 존재하지 않으면, 행렬 \(\mathbf{A}\)를
특이행렬(Singular Matrix)이라고 한다.
- 만약 이와같은 역행렬이 존재하지 않으면, 행렬 \(\mathbf{A}\)를
\(2\times 2\) 행렬 \(\mathbf{A}\)에 대한 역행렬 \(\mathbf{A}^{-1}\)은 다음과 같다. \[ \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} &a_{11} \end{pmatrix} \]
\(3\times 3\) 행렬 \(\mathbf{A}\)에 대한 역행렬 \(\mathbf{A}^{-1}\)은 다음과 같다. \[ \mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \end{pmatrix} \]
\(4\times 4\)부터 역행렬 계산은 어려워지는 단점이 있다.
R에서 함수
solve()를 이용하면 쉽게 역행렬을 얻을 수 있다.
[,1] [,2]
[1,] 1 10
[2,] 5 12solve(A)
[,1] [,2]
[1,] -0.3157895 0.26315789
[2,] 0.1315789 -0.02631579 [,1] [,2] [,3]
[1,] 18 9 3
[2,] 12 1 7
[3,] 10 4 16solve(B)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.01000000 0.110 -0.050
[2,] 0.10166667 -0.215 0.075
[3,] -0.03166667 -0.015 0.075# 예제 33
## 행렬 MM <- matrix(c(2, 5, 7, 9, 4, 10, 18, 19, 12, 13, 16, 11, 22, 29, 24, 20), nrow = 4)
M
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 4 12 22
[2,] 5 10 13 29
[3,] 7 18 16 24
[4,] 9 19 11 20solve(M)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.9377778 -0.7081481 -0.71259259 0.8503704
[2,] -0.5000000 0.3333333 0.33333333 -0.3333333
[3,] 0.4155556 -0.3896296 -0.03851852 0.1540741
[4,] -0.1755556 0.2162963 0.02518519 -0.10074071-6. 고유값과 고유벡터
- \(p\times p\)인 정방행렬 \(\mathbf{A}\)는 \(p\)개의 고유값(Eigenvalue) \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p\)와 각 고유값에 해당하는 고유벡터(Eigenvector) \(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \ldots, \mathbf{x}_{p}\)를 가진다.
- 이때 동치관계인 명제들은 다음과 같다.
- \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\bf{\lambda}\mathbf{x}\)
- \(|\mathbf{A}-\bf{\lambda}\mathbf{I}|=0\)
- 이를 이용하여 고유값을 계산
- \((\mathbf{A}-\bf{\lambda}\mathbf{I})\mathbf{x}=0\)
- 이를 이용하여 고유벡터를 계산
- 이를 이용하여 고유벡터를 계산
- \(tr(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^p\lambda_i\)
- \(tr(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^{p} a_{ii}\) → 대각선 성분의 합
- \(|\mathbf{A}|=\prod_{i=1}^{p}\lambda_i\)
- \(|\mathbf{I}+\mathbf{A}|=\prod_{i=1}^{p}(1+\lambda_i)\)
- 고유값에 관한 중요한 성질 :
- 행렬 \(\mathbf{A}\)의 대각성분의 합과 고유값의 합은 같다.
- 행렬 \(\mathbf{A}\)의 행렬식과 고유값의 곱은 같다.
- 행렬 \(\mathbf{A}\)의 고유값이 \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p\)이고 각 고유값에 해당하는 고유벡터가 \(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \ldots, \mathbf{x}_{p}\)일 때, \(\mathbf{A}^2\)의 고유값은 \(\lambda_1^2, \lambda_2^2, \ldots, \lambda_p^2\)이고 각 고유값에 해당하는 고유벡터는 \(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \ldots, \mathbf{x}_{p}\)이다.
- 행렬 \(\mathbf{A}\)는 고유값 \(\bf{\lambda}\)을 갖고, 행렬 \(\mathbf{B}\)는 고유값 \(\bf{\mu}\)를 가질 때, 두 행렬의 곱 \(\mathbf{AB}\)의 고유값은 \(\bf{\lambda\mu}\)이 아니다.
- 행렬 \(\mathbf{A}\)와 행렬 \(\mathbf{B}\)가 같은 차원의 정방행렬이면 행렬의 곱 \(\mathbf{AB}\)와 \(\mathbf{BA}\)의 고유벡터는 다르지만 고유값은 같다.
- \(n\times p\) 행렬 \(\mathbf{A}\)와 \(p\times n\) 행렬 \(\mathbf{B}\)에 대해 행렬의 곱 \(\mathbf{AB}\)와 \(\mathbf{BA}\)의 고유값을 구하면 0이 아닌 고유값은 같고 고유벡터는 다르다.
- 단위 고유벡터(Unit Eigenvector)는 \(\mathbf{e}=\frac{\mathbf{x}}{\sqrt{\mathbf{x}^T\mathbf{x}}}\)로 해당 벡터의 길이로 나누어 구하며 단위 고유벡터의 길이는 1이 된다.
- R에서 함수
eigen(행렬)을 통해 고유값과 고유벡터를 계산할 수 있다.- 고유벡터는 단위 고유벡터로 출력된다.
[,1] [,2]
[1,] 4 2
[2,] -5 -3eigen(A)
eigen() decomposition
$values
[1] 2 -1
$vectors
[,1] [,2]
[1,] 0.7071068 -0.3713907
[2,] -0.7071068 0.9284767Result! 첫 번째 고유값 2에 해당하는 단위 고유벡터는
\(\mathbf{e}_{1}\)=(0.7071068,
-0.7071068)이고, 두 번째 고유값 -1에 해당하는 단위 고유벡터는 \(\mathbf{e}_{2}\)=(-0.3713907,
0.9284767)이다.
[,1] [,2]
[1,] 1.414214 -1.414214A%*%eigen(A)$vectors[,1]
[,1]
[1,] 1.414214
[2,] -1.414214 [,1] [,2]
[1,] 0.3713907 -0.9284767A%*%eigen(A)$vectors[,2]
[,1]
[1,] 0.3713907
[2,] -0.9284767Result! 명제 1번이 각 고유값과 고유벡터에 대해
성립한다.
[,1] [,2] [,3]
[1,] 18 9 3
[2,] 12 1 7
[3,] 10 4 16eigen(B)
eigen() decomposition
$values
[1] 27.852064 11.047791 -3.899855
$vectors
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.6059151 -0.46301456 0.380749873
[2,] -0.4430289 0.06295986 -0.924661892
[3,] -0.6607513 0.88411174 -0.005469948Result! 첫 번째 고유값 27.852064에 해당하는 단위
고유벡터는 \(\mathbf{e}_{1}=\)(-0.6059151, -0.4430289,
-0.6607513)이고, 두 번째 고유값 11.047791에 해당하는 단위 고유벡터는
\(\mathbf{e}_{2}\)=(-0.46301456,
0.06295986. 0.88411174), 세 번째 고유값 -3.899855에 해당하는 단위
고유벡터는 \(\mathbf{e}_{3}\)=(0.380749873,
-0.924661892, -0.005469948)이다.
[,1] [,2] [,3]
[1,] -16.87599 -12.33927 -18.40329B%*%eigen(B)$vectors[,1]
[,1]
[1,] -16.87599
[2,] -12.33927
[3,] -18.40329 [,1] [,2] [,3]
[1,] -5.115288 0.6955674 9.767482B%*%eigen(B)$vectors[,2]
[,1]
[1,] -5.1152881
[2,] 0.6955674
[3,] 9.7674818 [,1] [,2] [,3]
[1,] -1.484869 3.606047 0.021332B%*%eigen(B)$vectors[,3]
[,1]
[1,] -1.484869
[2,] 3.606047
[3,] 0.021332Result! 명제 1번이 각 고유값과 고유벡터에 대해
성립한다.
# 예제 33
## 행렬 MM <- matrix(c(2, 5, 7, 9, 4, 10, 18, 19, 12, 13, 16, 11, 22, 29, 24, 20), nrow = 4)
M
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 4 12 22
[2,] 5 10 13 29
[3,] 7 18 16 24
[4,] 9 19 11 20eigen(M)
eigen() decomposition
$values
[1] 57.598788+0.000000i -11.949017+0.000000i 1.175114+0.761975i
[4] 1.175114-0.761975i
$vectors
[,1] [,2] [,3]
[1,] -0.3664508+0i 0.6898760+0i -0.6983444+0.0000000i
[2,] -0.5116579+0i 0.5352728+0i 0.3877508+0.0529904i
[3,] -0.5808906+0i -0.1097305+0i -0.4664879-0.2869434i
[4,] -0.5162229+0i -0.4748825+0i 0.2101321+0.1226926i
[,4]
[1,] -0.6983444+0.0000000i
[2,] 0.3877508-0.0529904i
[3,] -0.4664879+0.2869434i
[4,] 0.2101321-0.1226926iResult! 첫 번째 고유값 57.598788에 해당하는 단위
고유벡터는 \(\mathbf{e}_{1}=\)(-0.3664508, -0.5116579,
-0.5808906, -0.5162229), 두 번째 고유값 -11.949017에 해당하는 단위
고유벡터는 \(\mathbf{e}_{2}\)=(0.6898760, 0.5352728.
-0.1097305, -0.4748825), 세 번째 고유값 1.175114+0.761975i에 해당하는
단위 고유벡터는 \(\mathbf{e}_{3}\)=(-0.6983444+0.0000000i,
0.3877508+0.0529904i, -0.4664879-0.2869434i, 0.2101321+0.1226926i), 네
번째 고유값 1.175114-0.761975i에 해당하는 단위 고유벡터는 \(\mathbf{e}_{4}\)=(-0.6983444+0.0000000i,
0.3877508-0.0529904i, -0.4664879+0.2869434i,
0.2101321-0.1226926i)이다.
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -21.10712+0i -29.47087+0i -33.4586+0i -29.73381+0iM%*%eigen(M)$vectors[,1]
[,1]
[1,] -21.10712+0i
[2,] -29.47087+0i
[3,] -33.45860+0i
[4,] -29.73381+0i [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -8.243339+0i -6.395983+0i 1.311172+0i 5.674379+0iM%*%eigen(M)$vectors[,2]
[,1]
[1,] -8.243339+0i
[2,] -6.395983+0i
[3,] 1.311172+0i
[4,] 5.674379+0i [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.8206344-0.5321212i 0.415274+0.3577263i -0.3295328-0.6926435i
[,4]
[1,] 0.1534405+0.3042933iM%*%eigen(M)$vectors[,3]
[,1]
[1,] -0.8206344-0.5321212i
[2,] 0.4152740+0.3577263i
[3,] -0.3295328-0.6926435i
[4,] 0.1534405+0.3042933i [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.8206344+0.5321212i 0.415274-0.3577263i -0.3295328+0.6926435i
[,4]
[1,] 0.1534405-0.3042933iM%*%eigen(M)$vectors[,4]
[,1]
[1,] -0.8206344+0.5321212i
[2,] 0.4152740-0.3577263i
[3,] -0.3295328+0.6926435i
[4,] 0.1534405-0.3042933iResult! 명제 1번이 각 고유값과 고유벡터에 대해
성립한다.
1-7. 스펙트럼분해
- \(p\times p\) 대칭행렬 \(\mathbf{A}\)는 다음과 같이 스펙트럼분해
또는 분광분해된다. \[
\begin{align*}
\mathbf{A} = \mathbf{P}\Lambda \mathbf{P}^{T} = \sum_{i=1}^p
\lambda_{i}\mathbf{e}_i \mathbf{e}^T_i
\end{align*}
\]
- \(\Lambda=diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_p)\) : 행렬 \(\mathbf{A}\)의 고유값들로 이루어진 대각행렬
- \(\mathbf{P}=(\mathbf{e}_1, \ldots,
\mathbf{e}_p)\) : 각 고유값에 대응하는 단위 고유벡터들로 이루어진
직교행렬
- 즉, \(\mathbf{P}\mathbf{P}^T=\mathbf{P}^T\mathbf{P}=\mathbf{I}\)
2. 다변량 분석이란?
- 다변량 데이터(Multivariate Data) : 하나의 개체에 대해
두 가지 이상의 특성(변수)을 측정하여 얻어진 관측값들로 이루어진 데이터- 둘 이상의 서로 상관되어 있는 확률적 변수에 대해 얻어진 데이터를 의미한다.
- 다변량 분석(Multivariate Analysis) : 다변량 데이터를 이용하여
변수들 간의 관계성을 동시에 분석하는 통계적 분석- 각 변수에 대한 개별적인 일변량 분석을 개선한 분석
- 다변량 분석의 초기에는 다변량 방법의 응용에 포함된 방대한 계산량의 부담으로 그 적용에 많은 제한을 받아왔으며, 주로 선형대수학을 비롯한 수학적인 개발에 치중되었다.
- 그러나, 20세기 후반 컴퓨터의 급속한 발전은 기존의 다변량 분석의 실제적인 응용과 새로운 기법의 발전을 가져왔다.
- 21세기 초반에 이르러 컴퓨터의 능력이 매우 강력해져 대용량의 자료에 대한 처리가 가능해졌으며, 다변량 분석은 유전학, 영상, 천문학 등에서 발생하는 매우 방대한 데이터셋에 대해서도 적용될 수 있게 되었다.
- 대용량의 데이터를 처리하는 기법인 데이터마이닝의 영역에서도 다변량 분석기법들이 매우 중요한 역할을 담당하고 있다.
2-1. 다변량 분석의 목적
- 다변량 데이터 탐색을 통해 분포와 구조에 대한 정보는 얻는 것
- 적절한 분석방법을 적용하여 데이터가 발생한 시스템 또는 모집단에 대해
의미 있는 결과를 도출하는 것
- 변수들 간의 인과관계 : 회귀분석, 분산분석
- 변수들 간의 상관관계를 분석하여 데이터 차원 축약 : 주성분분석, 인자분석
- 개체들의 유사성에 의해 개체들을 분류 : 군집분석, 판별분석
- 통계분석 결과들로 얻어진 통계량과 그래프 등 분석 결과들을 이용하여 적절한 해석으로 그 분야의 현상에 대해 알아내는 것
2-2. 다변량 데이터의 구조
- 데이터 행렬 : \(p(\ge2)\)개의
변수에 대해 \(n\)개의 개체로부터 얻어진
다변량 데이터를 행렬로 표현한 것
- 데이터 행렬을 \(\mathbf{X}_{n\times
p}\)라고 할 때,
- 행의 수 = 개체의 수
- 열의 수 = 변수의 수 \[
\mathbf{X}_{n\times p} = \begin{pmatrix}
& 변수1 & 변수2 & \ldots & 변수j & \ldots &
변수p \\
개체 1 & x_{11}& x_{12}& \ldots & x_{1j}& \ldots
& x_{1p} \\
개체 2 & x_{21}& x_{22}& \ldots & x_{2j}& \ldots
& x_{2p}\\
\vdots & \vdots& \vdots& \vdots & \vdots& \vdots
& \vdots\\
개체 i & x_{i1}& x_{i2}& \ldots & x_{ij}& \ldots
& x_{ip}\\
\vdots & \vdots& \vdots& \vdots & \vdots& \vdots
& \vdots\\
개체 n & x_{n1}& x_{n2}& \ldots & x_{nj}& \ldots
& x_{np}
\end{pmatrix}
\]
- \(x_{ij}\) : \(i\)번째 개체에 대한 \(j\)번째 변수의 관측값
- \(i\)번째 행은 \(i\)번째 개체에 대한 관측값들로 이루어진 행벡터
- \(j\)번째 열은 \(j\)번째 변수에 대한 개체들의 관측값으로
이루어진 열벡터
- 만약 변수들의 변이성이나 군집성 혹은 그들 간의 연관성 등에 관심이 있다면, 이는 곧 데이터 행렬의 열을 중심으로 살펴본다는 것을 의미한다.
- 이런 관점에서 데이터 행렬은 \(p\)개의 열벡터 \(\mathbf{X}_{j}=\left(x_{1j}, x_{2j}, \ldots, x_{ij}, \ldots, x_{nj}\right)^T,\; j=1, \ldots, p\)를 이용하여 \(\mathbf{X}_{n\times p} = (\mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{j}, \ldots, \mathbf{X}_{p})\)로 표현할 수 있다.
- 예를 들어, 10명의 학생들이 수강한 통계학개론(\(X_1\)), R데이터분석(\(X_2\)), 다변량자료분석(\(X_3\))의 중간고사 점수를 데이터 행렬 \(\mathbf{X}\)로 표현하면 다음과 같다.
- 데이터 행렬을 \(\mathbf{X}_{n\times
p}\)라고 할 때,
\[ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_{1}\;\;\;\;X_{2}\;\;\;X_{3}\\ \mathbf{X}_{10\times 3} = \begin{pmatrix} 90 & 95 & 80\\ 85 & 80 & 50\\ 50 & 40 & 10\\ 43 & 64 & 38\\ 97 & 100 & 98\\ 88 & 93 & 86\\ 77 & 86 & 49\\ 61 & 66 & 57 \\ 78 & 84 & 73\\ 91 & 98 & 86 \end{pmatrix} \tag{1} \]
2-3. 다변량 데이터의 요약
- 데이터 행렬로부터 각 변수에 대한 기초적인 정보를 주는
기술통계량(Descriptive Statistics)을 계산할 수 있다.
- 기술통계량의 예 : 평균, 분산, 공분산, 상관계수 등
2-3-1. 표본평균
- \(j\)번째 변수의 표본평균 : \[
\begin{align*}
\bar{{x}}_{j} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_{ij},\;\; j = 1, \ldots, p
\end{align*}
\]
- \(p\)개의 표본평균들을 모아 하나의 벡터로 표현한 것을 표본평균벡터 \(\bar{\mathbf{x}}=(\bar{{x}}_{1}, \ldots, \bar{{x}}_{j}, \ldots, \bar{{x}}_{p})^{T}=\frac{1}{n}\mathbf{X}^{T}\mathbf{1}\)라고 한다.
- 표본평균벡터는 \(n\)개 개체들의 중심으로 생각할 수 있다.
- 예를 들어, 데이터 행렬 (1)의 표본평균벡터는 \(\bar{\mathbf{x}}=(76.0, 80.6, 62.7)^T= \begin{pmatrix}76.0\\80.6\\62.7\end{pmatrix}\).
# 10명의 학생들이 수강한 통계학개론, R데이터분석, 다변량자료분석의 중간고사 점수 NAx <- c(90, 95, 80, 85, 80, 50, 50, 40, 10, 43, 64, 38, 97, 100, 98, 88, 93, 86, 77, 86, 49, 61, 66, 57, 78, 84, 73, 91, 98, 86)
mat.x <- matrix(x, nrow = 10, byrow = TRUE)
mat.x
[,1] [,2] [,3]
[1,] 90 95 80
[2,] 85 80 50
[3,] 50 40 10
[4,] 43 64 38
[5,] 97 100 98
[6,] 88 93 86
[7,] 77 86 49
[8,] 61 66 57
[9,] 78 84 73
[10,] 91 98 86apply(mat.x, 2, mean)
[1] 76.0 80.6 62.7Caution! 함수 apply()는 주어진 함수를 특정
단위별로 쉽게 적용할 수 있도록 도움을 주는 함수이다. 첫 번째 인자로는
함수를 적용할 행렬 또는 데이터 프레임이 인자로 들어가고, 두 번째
인자로는 함수를 적용할 단위를 지정한다. 이때 “1”은 행 단위로 함수를
적용하고, “2”는 열 단위로 함수를 적용한다. 세 번째 인자는 적용할 함수를
지정하면 된다. 위의 코드 마지막 줄 apply(mat.x, 2, mean)은
행렬 “mat.x”의 열 단위로 평균을 적용하라는 의미이다.
2-3-2. 표본분산
- \(j\)번째 변수의 표본분산 : \[
\begin{align*}
s_{j}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_{ij}-\bar{x}_{j})^2,\;\; j = 1,
\ldots, p
\end{align*}
\]
- 표본분산은 데이터 값들의 변동정도로서 데이터 값들이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는 지를 측정하는 측도이다.
- 표본분산은 제곱의 합이기 때문에 측정단위도 원래의 측정단위의 제곱이 된다.
- 예를 들어, 데이터 행렬 (1)의 표본분산벡터는 \((342.4, 357.6, 722.9)^T=\begin{pmatrix}342.4\\357.6\\722.9\end{pmatrix}\).
# 10명의 학생들이 수강한 통계학개론, R데이터분석, 다변량자료분석의 중간고사 점수 NAx <- c(90, 95, 80, 85, 80, 50, 50, 40, 10, 43, 64, 38, 97, 100, 98, 88, 93, 86, 77, 86, 49, 61, 66, 57, 78, 84, 73, 91, 98, 86)
mat.x <- matrix(x, nrow = 10, byrow = TRUE)
mat.x
[,1] [,2] [,3]
[1,] 90 95 80
[2,] 85 80 50
[3,] 50 40 10
[4,] 43 64 38
[5,] 97 100 98
[6,] 88 93 86
[7,] 77 86 49
[8,] 61 66 57
[9,] 78 84 73
[10,] 91 98 86apply(mat.x, 2, var)
[1] 342.4444 357.6000 722.90002-3-3. 표본표준편차
- \(j\)번째 변수의 표본표준편차 :
\[
\begin{align*}
s_{j}=\sqrt{s_{j}^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n
(x_{ij}-\bar{x}_{j})^2},\;\; j = 1, \ldots, p
\end{align*}
\]
- 표본표준편차는 표본분산 \(s_j^2\)에 제곱근을 취해 원래의 측정단위와 같도록 만든 측도이다.
- 예를 들어, 데이터 행렬 (1)의 표본표준편차벡터는 \((18.5, 18.9, 26.9)^T=\begin{pmatrix}18.5\\18.9\\26.9\end{pmatrix}\).
# 10명의 학생들이 수강한 통계학개론, R데이터분석, 다변량자료분석의 중간고사 점수 NAx <- c(90, 95, 80, 85, 80, 50, 50, 40, 10, 43, 64, 38, 97, 100, 98, 88, 93, 86, 77, 86, 49, 61, 66, 57, 78, 84, 73, 91, 98, 86)
mat.x <- matrix(x, nrow = 10, byrow = TRUE)
mat.x
[,1] [,2] [,3]
[1,] 90 95 80
[2,] 85 80 50
[3,] 50 40 10
[4,] 43 64 38
[5,] 97 100 98
[6,] 88 93 86
[7,] 77 86 49
[8,] 61 66 57
[9,] 78 84 73
[10,] 91 98 86apply(mat.x, 2, sd)
[1] 18.50525 18.91031 26.886802-3-4. 표본공분산
- \(j\)번째 변수와 \(k\)번째 변수의 표본공분산 : \[
\begin{align*}
s_{jk} = s_{kj}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n
(x_{ij}-\bar{x}_{j})(x_{ik}-\bar{x}_{k}),\;\; j = 1, \ldots, p, \;\;, k=
1, \ldots, p
\end{align*}
\]
- 표본공분산은 두 변수 사이의 선형적 연관성을 측정한다.
- 즉, \(j\)번째 변수에 대한 값의 증가에 따른 \(k\)번째 변수에 대한 값의 증가 또는 감소의 경향을 나타내는 측도이다.
- \(s_{jk}\)가 큰 양의 값을 가지면 \(j\)번째 변수에 대한 값이 증가(감소)할 때 \(k\)번째 변수에 대한 값도 증가(감소)하는 경향이 있다.
- \(s_{jk}\)가 큰 음의 값을 가지면 \(j\)번째 변수에 대한 값이 증가(감소)할 때 \(k\)번째 변수에 대한 값은 감소(증가)하는 경향이 있다.
- \(s_{jk}\)가 0에 가까우면 두 변수의
증감은 서로 체계적인 경향이 없다는 것을 나타낸다.
- 두 변수가 독립이면 \(s_{jk} = 0\).
- 하지만, \(s_{jk} = 0\)이라고 두 변수가 독립인 것은 아니다.
- 표본공분산을 \(p\)개의 변수에 대한
행렬로 나타낸 표본공분산행렬은 다음과 같다. \[
\mathbf{S}_{p\times p} = \begin{pmatrix}
s_{11} = s_1^2& s_{12}& \ldots & s_{1j}& \ldots &
s_{1p} \\
s_{21}& s_{22} = s_2^2& \ldots & s_{2j}& \ldots &
s_{2p}\\
\vdots& \vdots& \vdots & \vdots& \vdots & \vdots\\
s_{p1}& s_{p2}& \ldots & s_{pj}& \ldots & s_{pp} =
s_p^2
\end{pmatrix}
\]
- \(s_{jk}=s_{kj}\)이기 때문에 표본공분산행렬은 대칭행렬이다.
- 대각성분은 각 변수들의 표준분산이다.
- 표본공분산은 두 변수 사이의 선형적 연관성을 측정한다.
- R에서 표본공분산행렬은 함수
cov()를 이용하여 얻을 수 있다.
# 10명의 학생들이 수강한 통계학개론, R데이터분석, 다변량자료분석의 중간고사 점수 NAx <- c(90, 95, 80, 85, 80, 50, 50, 40, 10, 43, 64, 38, 97, 100, 98, 88, 93, 86, 77, 86, 49, 61, 66, 57, 78, 84, 73, 91, 98, 86)
mat.x <- matrix(x, nrow = 10, byrow = TRUE)
mat.x
[,1] [,2] [,3]
[1,] 90 95 80
[2,] 85 80 50
[3,] 50 40 10
[4,] 43 64 38
[5,] 97 100 98
[6,] 88 93 86
[7,] 77 86 49
[8,] 61 66 57
[9,] 78 84 73
[10,] 91 98 86# 표본공분산행렬
cov(mat.x)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 342.4444 316.4444 419.5556
[2,] 316.4444 357.6000 469.9778
[3,] 419.5556 469.9778 722.9000Result! 생성된 표본공분산행렬은 대칭행렬이며, 대각성분은
2-3-2. 표본분산에서 계산된 분산과 같다.
2-3-5. 표본상관계수
- \(j\)번째 변수와 \(k\)번째 변수의 표본상관계수 : \[
\begin{align*}
r_{jk} = r_{kj}= \frac{s_{jk}}{s_js_k}= \frac{\sum_{i=1}^n
(x_{ij}-\bar{x}_{j})(x_{ik}-\bar{x}_{k})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n
(x_{ij}-\bar{x}_{j})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_{ik}-\bar{x}_{k})^2}},\;\;
j = 1, \ldots, p, \;\;, k= 1, \ldots, p
\end{align*}
\]
- 표본상관계수는 두 변수 사이의 선형성의 강도를 나타내는 측도로 흔히 사용된다.
- 표본상관계수는 표본공분산을 표준화한 것과 같다.
- 표본공분산은 변수들의 측정단위에 의존하며 그 값의 범위가 제한되어 있지 않아 크기를 상대비교하기가 어렵다.
- 반면, 표본상관계수는 측정단위에 무관하고 \(-1\le r_{jk} \le 1\)이기 때문에 \(1\) 또는 \(-1\)에 가까울수록 선형성의 강도가 큰 것을
의미한다.
- \(0 <r_{jk}\le 1\)이면, \(j\)번째 변수에 대한 값이 증가(감소)할 때 \(k\)번째 변수에 대한 값도 증가(감소)하는 경향이 있으며, \(1\)에 가까울수록 강한 선형성을 보인다.
- \(-1 <r_{jk}< 0\)이면, \(j\)번째 변수에 대한 값이 증가(감소)할 때 \(k\)번째 변수에 대한 값은 감소(증가)하는 경향이 있으며, \(-1\)에 가까울수록 강한 선형성을 보인다.
- \(r_{jk}=0\)이면, 두 변수 사이의 선형관계는 존재하지 않는다.
- 표본상관계수는 위치변환이나 척도변환 후에도 변하지 않는다.
- 표본상관계수를 \(p\)개의 변수에
대한 행렬로 나타낸 표본상관행렬은 다음과 같다. \[
\mathbf{R}_{p\times p} = \begin{pmatrix}
1& r_{12}& \ldots & r_{1j}& \ldots & r_{1p} \\
r_{21}& 1& \ldots & r_{2j}& \ldots & r_{2p}\\
\vdots& \vdots& \vdots & \vdots& \vdots & \vdots\\
r_{p1}& r_{p2}& \ldots & r_{pj}& \ldots & 1
\end{pmatrix}
\]
- \(r_{jk}=r_{kj}\)이기 때문에 표본공분산행렬은 대칭행렬이다.
- 대각성분은 1이다.
- R에서 표본상관행렬은 함수
cor()를 이용하여 얻을 수 있다.
# 10명의 학생들이 수강한 통계학개론, R데이터분석, 다변량자료분석의 중간고사 점수 NAx <- c(90, 95, 80, 85, 80, 50, 50, 40, 10, 43, 64, 38, 97, 100, 98, 88, 93, 86, 77, 86, 49, 61, 66, 57, 78, 84, 73, 91, 98, 86)
mat.x <- matrix(x, nrow = 10, byrow = TRUE)
mat.x
[,1] [,2] [,3]
[1,] 90 95 80
[2,] 85 80 50
[3,] 50 40 10
[4,] 43 64 38
[5,] 97 100 98
[6,] 88 93 86
[7,] 77 86 49
[8,] 61 66 57
[9,] 78 84 73
[10,] 91 98 86# 표본상관행렬
cor(mat.x)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1.0000000 0.9042815 0.8432480
[2,] 0.9042815 1.0000000 0.9243564
[3,] 0.8432480 0.9243564 1.0000000