Moving Average Process

Time Series

Description for Moving Average Process

Yeongeun Jeon , Jung In Seo
2024-01-10

1. 함수 설명

함수 설명
arima() MA모형의 차수 \(q\)를 지정하여 모형 구축
auto.arima() 모형의 차수 지정없이 자동적으로 최적화된 모형 구축
acf() 상관도표그림
pacf() 부분상관도표그림
Box.test() Ljung-Box Test
checkresiduals() 잔차가 백색잡음과정의 가정을 만족하는지 확인할 때 사용
forecast() 예측

2. 예제

2-1. BMW 데이터셋

# 패키지 설치
pacman::p_load("evir")

# 데이터 불러오기
data(bmw, package = "evir")

# 시계열 그림
plot(bmw, type = "l")

Result! 증가하거나 감소하는 추세가 없어서 시간의 흐름에 따라 평균이 일정하다.

# 상관도표그림
acf(bmw)

Result! 시차 1에서 막대의 끝이 파란색 선을 넘어가므로 시차 1에 대해 유의한 자기상관관계가 존재한다.

# 부분상관도표그림
pacf(bmw)

Result! 시차 1에서 막대의 끝이 파란색 선을 넘어가므로 시차 1에 대해 유의한 부분자기상관관계가 존재한다.
Caution! 큰 시차에서의 막대 끝이 파란색 선을 넘어가는 것은 우연 변동에 의한 가능성이 높다.

# Ljung-Box Test
Box.test(bmw, lag = 5,
         type = "Ljung-Box")

    Box-Ljung test

data:  bmw
X-squared = 44.987, df = 5, p-value = 1.46e-08

Result! 귀무가설 \(H_0 : \rho(1)=\rho(2)=\cdots=\rho(5)=0\)에 대한 검정 결과에 따르면, \(p\)값이 0에 가까우므로 유의수준 0.05에서 귀무가설을 기각한다. 즉, 관측된 시계열에 대해 \(\rho(1), \rho(2),\cdots,\rho(5)\) 중 유의한 자기상관관계가 적어도 1개 존재한다.

# Fit MA(1)
MA.bmw <- arima(bmw, 
                order = c(0, 0, 1))

Caution! 함수 arima()를 이용하여 MA(1) 모형을 구축하려면 옵션 order = c(0, 0, 1)을 입력한다. 만약, MA(\(q\)) 모형을 구축하려면 옵션 order = c(0, 0, q)을 입력하면 된다.

# 모형 추정 결과
print(MA.bmw)

Call:
arima(x = bmw, order = c(0, 0, 1))

Coefficients:
         ma1  intercept
      0.0853      3e-04
s.e.  0.0130      2e-04

sigma^2 estimated as 0.0002162:  log likelihood = 17213.39,  aic = -34420.79

Result! 출력 결과를 요약하면 다음과 같다.
1. 모수의 추정치는 \(\hat{\mu}=0.0003\), \(\hat{\theta}=0.0853\), \(\hat{\sigma}^2_\epsilon = 0.0002162\)이다. 이를 이용하면 관측된 시계열에 대해 구축된 MA(1) 모형은 \(Y_t-0.0003 = \epsilon_t + 0.0853\epsilon_{t-1}\)이다.
2. \({\theta}\)에 대한 유의성 검정을 수행하면, 검정통계량은 \(t = (0.0853/0.0130) \approx 6.56\)이며 귀무가설(\(H_0 : \theta=0\))하에서 자유도가 \(6145\) (관측값 \(- 1\))인 \(t\) 분포를 따르고 \(p\)값이 0에 가깝다. 이에 기반하여 유의수준 0.05에서 \(p\)값이 0.05보다 작기 때문에 귀무가설을 기각한다. 즉, \(\hat{\theta}\)의 값이 굉장히 작지만 \({\theta}\)는 통계적으로 유의하다.

# 잔차를 이용한 모형 진단
Box.test(residuals(MA.bmw), lag = 5,
         type = "Ljung-Box",
         fitdf = 1)                 # MA 모형의 추정한 회귀 모수 theta 개수

    Box-Ljung test

data:  residuals(MA.bmw)
X-squared = 4.7355, df = 4, p-value = 0.3155

Caution! 잔차는 함수 residuals()를 이용하여 추출할 수 있다.
Result! 귀무가설 \(H_0 : \rho(1)=\rho(2)=\cdots=\rho(5)=0\)에 대한 검정 결과에 따르면, \(p\)값이 0.3155이므로 유의수준 0.05에서 \(p\)값이 0.05보다 크기 때문에 귀무가설을 기각하지 못한다. 즉, 잔차에 대해 시차 5까지의 자기상관계수 \(\rho(1), \rho(2), \cdots, \rho(5)\) 중 유의한 자기상관계수가 적어도 1개 존재한다는 증거가 부족하며, 해당 시계열에 대해 MA(1) 모형을 가정하는 것이 적절하다.

# 잔차에 대한 상관도표그림
acf(residuals(MA.bmw))

Result! 시차 1 이상에서 막대의 끝이 파란색 선 밖에 나가지 않으므로 유의한 자기상관계수가 존재한다는 증거가 부족하다. 큰 시차(예를 들어, 시차 19)에서 막대의 끝이 파란색 선 밖에 나가는 것은 우연 변동에 의한 가능성이 높다.

Caution! 관측된 시계열의 개수가 많은 경우, 큰 시차에서 유의한 자기상관계수가 존재할 수 있다.

# 잔차를 이용한 모형 진단
Box.test(residuals(MA.bmw), lag = 15,
         type = "Ljung-Box",
         fitdf = 1)                 # MA 모형의 추정한 회귀 모수 theta 개수

    Box-Ljung test

data:  residuals(MA.bmw)
X-squared = 22.045, df = 14, p-value = 0.0777
# 잔차를 이용한 모형 진단
Box.test(residuals(MA.bmw), lag = 20,
         type = "Ljung-Box",
         fitdf = 1)                 # MA 모형의 추정한 회귀 모수 theta 개수

    Box-Ljung test

data:  residuals(MA.bmw)
X-squared = 37.311, df = 19, p-value = 0.007254

2-2. Mishkin 데이터셋

# 패키지 설치
pacman::p_load("Ecdat")

# 데이터 불러오기
data(Mishkin, package = "Ecdat")
y = as.vector(Mishkin[,1])             # 월별 인플레이션율 추출
y
  [1] -3.552289  5.247540  1.692860  5.064298  6.719322 11.668920
  [7]  9.912501  8.346786  6.517766  4.865085 16.076321 19.154240
 [13] 14.061910  4.650814  1.546310  4.627010 -1.540355  1.540355
 [19]  0.000000  7.672257  6.102576  6.209472  4.533152  0.000000
 [25] -7.564866  0.000000 19.570490 -1.494151  1.494151  0.000000
 [31] -1.494151  0.000000  1.494151  0.000000 -1.494151 -2.993894
 [37] -6.010291  3.008908  1.501630  2.997634  4.482457  2.979029
 [43]  2.971549  1.483071  2.960655 -4.443726 -1.484906  2.967978
 [49] -1.483071 -1.484906 -2.839906  2.839906  1.484906  0.000000
 [55] -1.484906 -2.839906 -2.982291  2.982291 -2.982291  0.000000
 [61]  0.000000  1.492020  0.000000  0.000000  0.000000  2.978693
 [67] -2.978693  4.330177  0.000000  1.484906 -2.836390  0.000000
 [73]  0.000000  2.836390  1.483071  5.914023  5.751562  8.774637
 [79] -1.457907  1.457907  5.682521  1.449363  2.893485  0.000000
 [85]  2.886525  2.748830  2.873018  2.866156  7.006195  5.678584
 [91]  1.415482  1.413814  0.000000  4.103441  0.000000  7.020216
 [97]  1.399128  6.844860  2.777502  0.000000  1.386248  1.384744
[103]  0.000000  0.000000  1.383148  1.381556 -1.381556  1.381556
[109] -1.381556  0.000000  1.381556  1.254555  5.504627  2.742874
[115] -1.370653  2.739743  3.973921  1.363010 -2.727571  1.364560
[121]  0.000000  6.799529  0.000000  2.586158  0.000000  0.000000
[127]  1.352397  5.394306  1.344819  0.000000  0.000000  1.343314
[133] -1.343314  1.343314  0.000000  1.341812  5.230890 -1.335972
[139]  2.670459  0.000000  0.000000  0.000000  0.000000  2.664529
[145]  2.658626  2.532271  0.000000  0.000000  2.647071  0.000000
[151]  6.592472 -1.315600  0.000000 -1.317044  1.317044  1.315600
[157]  1.194725  0.000000  0.000000  5.242814  3.917133  0.000000
[163]  1.302875  1.183181  0.000000  2.598952  0.000000  0.000000
[169] -1.298772  1.298772  2.593336  0.000000  2.587653  1.291782
[175] -1.291782  2.582175  1.171857  2.574118  1.284992 -1.284992
[181]  0.000000  1.284992  3.846739  2.557659  6.254851  1.270154
[187] -2.541654  2.541654  0.000000  2.536194  3.679570  0.000000
[193]  7.553715  2.393494  4.999561  0.000000  2.491991  2.486741
[199]  7.317456  1.233940  4.811423  0.000000  0.000000  0.000000
[205]  1.227743  2.451723  2.446724  3.549967  3.649961  4.849325
[211]  2.307577  3.617287  3.606416  2.289339  3.588767  4.768305
[217]  3.456034  4.735883  3.539687  4.596686  3.515803  3.399432
[223]  3.495549  3.485477  5.681739  3.458990  2.300467  3.338259
[229]  4.574945  6.726781  5.662605  3.282331  7.861482  3.252032
[235]  4.457231  4.339972  4.424734  5.408054  7.570396  2.182552
[241]  5.439077  3.153226  7.553640  4.197689  3.211568  5.236804
[247]  2.126986  4.242622  6.240278  4.110415  5.237093  2.088382
[253]  5.110830  5.183215  6.096802  5.041712  6.133401  2.962434
[259]  1.016681  1.015820  2.029064  1.013247  3.952596  1.009064
[265]  5.945445  3.007194  2.999539  2.901685  2.984980  2.977574
[271]  2.880218  4.934430  2.950948  3.834231  2.934329  5.758887
[277]  8.630559 11.440700  9.436906  6.536329  7.438794  3.659775
[283] 19.304211  1.838323  7.242186  8.105994  8.051480  9.785962
[289] 15.814170 12.122030  6.883693 12.010690 10.111450  7.566704
[295] 13.394280 12.342670  9.006326  9.680984  7.246837  4.855838
[301]  6.371189  4.738003  4.719480  5.566699  9.340268 12.388900
[307]  4.665991  5.350513  6.864336  6.061113  5.269925  3.040442
[313]  3.720887  3.778037  5.200997  6.673568  7.379198  5.857414
[319]  5.093520  5.072093  5.117023  3.575525  5.014266  6.435108
[325] 12.054450  6.336976  9.123064  6.255971  7.616233  4.105433
[331]  4.782352  2.760079  4.065748  5.420399  4.033883  6.056223
[337]  7.374409  8.668254  9.873637 10.451070 11.012750  5.793180
[343]  5.119508  7.025764  7.623123  6.306279  6.273224  9.946648
[349] 11.106510 10.389710 11.519510 13.766670 11.877010  9.987637
[355]  9.318593 10.410780  9.167216  6.281625  9.620259 14.005740
[361] 14.956960 14.772750  8.707769 10.170030  8.572340  7.396264
[367]  9.999892 11.967070  7.265405  7.174647  7.693233 10.614180
[373] 15.060890  9.936591  6.880011  7.334265  6.843737  9.197388
[379]  8.644333  9.498251  5.220479  4.722268  4.229963  6.531282
[385]  3.765132  1.835451  1.875277  8.318006 11.909480  8.179443
[391]  2.243804  5.880264  5.358331  1.808168  0.903063  2.664138
[397]  0.409372  0.818200  8.558391  6.479959  4.032262  4.820824
[403]  4.002672  5.979086  3.176779  1.981179  1.582568  6.702875
[409]  5.491976  2.736532  5.843219  3.492417  3.868475  3.856044
[415]  4.994358  5.737063  3.048542  0.000000  0.760985  2.279948
[421]  4.924980  5.281344  4.883469  4.490115  3.729027  1.860177
[427]  2.599458  3.703707  3.692311  4.048485  2.935736  3.659655
[433] -3.293165 -5.508809 -2.579503  3.683244  5.869799  0.365932
[439]  2.193139  5.828813  1.089709  1.088720  1.087844  7.226761
[445]  4.308729  5.364409  6.405601  4.251591  4.236581  3.167622
[451]  6.310269  6.277260  3.126359  1.040348  0.000000  3.115431
[457]  3.107574  5.161263  6.164397  4.092111  5.095515  5.073969
[463]  5.052708  8.040197  3.999936  0.998057  1.993322  5.960278
[469]  4.944349  6.888122  7.823956  6.804426  2.904398  2.897386
[475]  1.927679  3.846190  5.746220  2.862824  1.904730 12.307830
[481]  5.638225  6.544558  1.863323  2.789618  6.484031  4.610040
[487] 10.992540  9.988676  7.212614  2.693695  0.000000
# 시계열 ts 객체로 변환
y <- ts(y, 
        frequency = 12,                # 1년에 12번 관측하는 월별 시계열열
        start = c(1950, 2))            # 1950년 2월부터 관측

y
           Jan       Feb       Mar       Apr       May       Jun
1950           -3.552289  5.247540  1.692860  5.064298  6.719322
1951 19.154240 14.061910  4.650814  1.546310  4.627010 -1.540355
1952  0.000000 -7.564866  0.000000 19.570490 -1.494151  1.494151
1953 -2.993894 -6.010291  3.008908  1.501630  2.997634  4.482457
1954  2.967978 -1.483071 -1.484906 -2.839906  2.839906  1.484906
1955  0.000000  0.000000  1.492020  0.000000  0.000000  0.000000
1956  0.000000  0.000000  2.836390  1.483071  5.914023  5.751562
1957  0.000000  2.886525  2.748830  2.873018  2.866156  7.006195
1958  7.020216  1.399128  6.844860  2.777502  0.000000  1.386248
1959  1.381556 -1.381556  0.000000  1.381556  1.254555  5.504627
1960  1.364560  0.000000  6.799529  0.000000  2.586158  0.000000
1961  1.343314 -1.343314  1.343314  0.000000  1.341812  5.230890
1962  2.664529  2.658626  2.532271  0.000000  0.000000  2.647071
1963  1.315600  1.194725  0.000000  0.000000  5.242814  3.917133
1964  0.000000 -1.298772  1.298772  2.593336  0.000000  2.587653
1965 -1.284992  0.000000  1.284992  3.846739  2.557659  6.254851
1966  0.000000  7.553715  2.393494  4.999561  0.000000  2.491991
1967  0.000000  1.227743  2.451723  2.446724  3.549967  3.649961
1968  4.768305  3.456034  4.735883  3.539687  4.596686  3.515803
1969  3.338259  4.574945  6.726781  5.662605  3.282331  7.861482
1970  2.182552  5.439077  3.153226  7.553640  4.197689  3.211568
1971  2.088382  5.110830  5.183215  6.096802  5.041712  6.133401
1972  1.009064  5.945445  3.007194  2.999539  2.901685  2.984980
1973  5.758887  8.630559 11.440700  9.436906  6.536329  7.438794
1974  9.785962 15.814170 12.122030  6.883693 12.010690 10.111450
1975  4.855838  6.371189  4.738003  4.719480  5.566699  9.340268
1976  3.040442  3.720887  3.778037  5.200997  6.673568  7.379198
1977  6.435108 12.054450  6.336976  9.123064  6.255971  7.616233
1978  6.056223  7.374409  8.668254  9.873637 10.451070 11.012750
1979  9.946648 11.106510 10.389710 11.519510 13.766670 11.877010
1980 14.005740 14.956960 14.772750  8.707769 10.170030  8.572340
1981 10.614180 15.060890  9.936591  6.880011  7.334265  6.843737
1982  6.531282  3.765132  1.835451  1.875277  8.318006 11.909480
1983  2.664138  0.409372  0.818200  8.558391  6.479959  4.032262
1984  6.702875  5.491976  2.736532  5.843219  3.492417  3.868475
1985  2.279948  4.924980  5.281344  4.883469  4.490115  3.729027
1986  3.659655 -3.293165 -5.508809 -2.579503  3.683244  5.869799
1987  7.226761  4.308729  5.364409  6.405601  4.251591  4.236581
1988  3.115431  3.107574  5.161263  6.164397  4.092111  5.095515
1989  5.960278  4.944349  6.888122  7.823956  6.804426  2.904398
1990 12.307830  5.638225  6.544558  1.863323  2.789618  6.484031
           Jul       Aug       Sep       Oct       Nov       Dec
1950 11.668920  9.912501  8.346786  6.517766  4.865085 16.076321
1951  1.540355  0.000000  7.672257  6.102576  6.209472  4.533152
1952  0.000000 -1.494151  0.000000  1.494151  0.000000 -1.494151
1953  2.979029  2.971549  1.483071  2.960655 -4.443726 -1.484906
1954  0.000000 -1.484906 -2.839906 -2.982291  2.982291 -2.982291
1955  2.978693 -2.978693  4.330177  0.000000  1.484906 -2.836390
1956  8.774637 -1.457907  1.457907  5.682521  1.449363  2.893485
1957  5.678584  1.415482  1.413814  0.000000  4.103441  0.000000
1958  1.384744  0.000000  0.000000  1.383148  1.381556 -1.381556
1959  2.742874 -1.370653  2.739743  3.973921  1.363010 -2.727571
1960  0.000000  1.352397  5.394306  1.344819  0.000000  0.000000
1961 -1.335972  2.670459  0.000000  0.000000  0.000000  0.000000
1962  0.000000  6.592472 -1.315600  0.000000 -1.317044  1.317044
1963  0.000000  1.302875  1.183181  0.000000  2.598952  0.000000
1964  1.291782 -1.291782  2.582175  1.171857  2.574118  1.284992
1965  1.270154 -2.541654  2.541654  0.000000  2.536194  3.679570
1966  2.486741  7.317456  1.233940  4.811423  0.000000  0.000000
1967  4.849325  2.307577  3.617287  3.606416  2.289339  3.588767
1968  3.399432  3.495549  3.485477  5.681739  3.458990  2.300467
1969  3.252032  4.457231  4.339972  4.424734  5.408054  7.570396
1970  5.236804  2.126986  4.242622  6.240278  4.110415  5.237093
1971  2.962434  1.016681  1.015820  2.029064  1.013247  3.952596
1972  2.977574  2.880218  4.934430  2.950948  3.834231  2.934329
1973  3.659775 19.304211  1.838323  7.242186  8.105994  8.051480
1974  7.566704 13.394280 12.342670  9.006326  9.680984  7.246837
1975 12.388900  4.665991  5.350513  6.864336  6.061113  5.269925
1976  5.857414  5.093520  5.072093  5.117023  3.575525  5.014266
1977  4.105433  4.782352  2.760079  4.065748  5.420399  4.033883
1978  5.793180  5.119508  7.025764  7.623123  6.306279  6.273224
1979  9.987637  9.318593 10.410780  9.167216  6.281625  9.620259
1980  7.396264  9.999892 11.967070  7.265405  7.174647  7.693233
1981  9.197388  8.644333  9.498251  5.220479  4.722268  4.229963
1982  8.179443  2.243804  5.880264  5.358331  1.808168  0.903063
1983  4.820824  4.002672  5.979086  3.176779  1.981179  1.582568
1984  3.856044  4.994358  5.737063  3.048542  0.000000  0.760985
1985  1.860177  2.599458  3.703707  3.692311  4.048485  2.935736
1986  0.365932  2.193139  5.828813  1.089709  1.088720  1.087844
1987  3.167622  6.310269  6.277260  3.126359  1.040348  0.000000
1988  5.073969  5.052708  8.040197  3.999936  0.998057  1.993322
1989  2.897386  1.927679  3.846190  5.746220  2.862824  1.904730
1990  4.610040 10.992540  9.988676  7.212614  2.693695  0.000000
# 시계열 그림
plot(y, type = "l")

# 상관도표그림
acf(y)

Result! 대부분의 시차에서 막대의 끝이 파란색 선을 넘어가므로 시차 25까지 유의한 자기상관관계가 존재한다.

# 부분상관도표그림
pacf(y)

Result! 시차 7까지 막대의 끝이 파란색 선을 넘어가므로 시차 7까지 유의한 부분자기상관관계가 존재한다.

# Ljung-Box Test
Box.test(y, lag = 7,
         type = "Ljung-Box")

    Box-Ljung test

data:  y
X-squared = 774.34, df = 7, p-value < 2.2e-16

Result! 귀무가설 \(H_0 : \rho(1)=\rho(2)=\cdots=\rho(7)=0\)에 대한 검정 결과에 따르면, \(p\)값이 0에 가까우므로 유의수준 0.05에서 귀무가설을 기각한다. 즉, 관측된 시계열에 대해 \(\rho(1), \rho(2),\cdots,\rho(7)\) 중 유의한 자기상관관계가 적어도 1개 존재한다.

# Fit MA(1)
MA.y <- arima(y, 
              order = c(0, 0, 1)) 

# 잔차를 이용한 모형 진단
Box.test(residuals(MA.y), lag = 5,
         type = "Ljung-Box",
         fitdf = 1)                 # MA 모형의 추정한 회귀 모수 theta 개수

    Box-Ljung test

data:  residuals(MA.y)
X-squared = 208.78, df = 4, p-value < 2.2e-16

Result! 귀무가설 \(H_0 : \rho(1)=\rho(2)=\cdots=\rho(5)=0\)에 대한 검정 결과에 따르면, \(p\)값이 0에 가깝기 때문에 유의수준 0.05에서 \(p\)값이 0.05보다 작아 귀무가설을 기각한다. 즉, 잔차에 대해 시차 5까지의 자기상관계수 \(\rho(1), \rho(2), \cdots, \rho(5)\) 중 유의한 자기상관계수가 적어도 1개 존재한다는 것을 의미하며, 해당 시계열에 대해 MA(1) 모형을 가정하는 것은 적절하지 않다.

# 잔차에 대한 상관도표그림
acf(residuals(MA.y))

Result! 모든 시차에서 막대의 끝이 파란색 선을 넘어가므로 모든 시차에서 자기상관계수는 통계적으로 유의하다.

Caution! Package "forecast"에서 제공하는 함수 auto.arima()에 옵션 max.p = 0, max.q = 20, d = 0을 입력하여 최적의 MA(\(q\)) 모형을 찾을 수 있다.

# 함수 auto.arima() 이용
pacman::p_load("forecast")

auto.ma.y <- auto.arima(y, max.q = 20,        # MA(1) ~ MA(20) 모형을 후보로 둠
                        max.p = 0, d = 0, 
                        max.P = 0,
                        max.Q = 0,
                        max.D = 0,
                        ic = "bic")           # BIC 기준으로 BIC가 가장 작은 모형을 최적 모형으로 선택

print(auto.ma.y)
Series: y 
ARIMA(0,0,4) with non-zero mean 

Coefficients:
         ma1     ma2     ma3     ma4    mean
      0.4717  0.3742  0.1882  0.1544  3.9772
s.e.  0.0459  0.0489  0.0433  0.0424  0.3066

sigma^2 = 9.777:  log likelihood = -1254.13
AIC=2520.26   AICc=2520.44   BIC=2545.44

Result! 관측된 시계열에 대해 BIC를 기준으로 최적의 모형은 MA(4) 모형이다. 모수 추정 결과에 따르면, \(\hat{\mu} = 3.9772\), \(\hat{\theta}_1=0.4717\), \(\hat{\theta}_2=0.3742\), \(\hat{\theta}_3=0.1882\), \(\hat{\theta}_4=0.1544\), \(\hat{\sigma}^2_\epsilon = 9.777\)이다. 이를 이용하면 관측된 시계열에 대해 구축된 MA(4) 모형은 \(Y_t-3.9772 = \epsilon_t + 0.4717\epsilon_{t-1}+0.3742\epsilon_{t-2}+ 0.1882\epsilon_{t-3} + 0.1544\epsilon_{t-4}\)이다.

# 잔차를 이용한 모형 진단
Box.test(residuals(auto.ma.y), lag = 10,
         type = "Ljung-Box",
         fitdf = 4)                 # MA 모형의 추정한 회귀 모수 theta 개수

    Box-Ljung test

data:  residuals(auto.ma.y)
X-squared = 79.275, df = 6, p-value = 4.996e-15

Result! 귀무가설 \(H_0 : \rho(1)=\rho(2)=\cdots=\rho(10)=0\)에 대한 검정 결과에 따르면, \(p\)값이 0에 가까우므로 유의수준 0.05에서 \(p\)값이 0.05보다 작아 귀무가설을 기각한다. 즉, 잔차에 대해 시차 10까지의 자기상관계수 \(\rho(1), \rho(2), \cdots, \rho(10)\) 중 유의한 자기상관계수가 적어도 1개 존재한다는 것을 의미하며, 해당 시계열에 대해 MA(4) 모형을 가정하는 것은 적절하지 않다.

# 잔차에 대한 상관도표그림
acf(residuals(auto.ma.y))

Result! 시차 4부터 막대의 끝이 파란색 선을 넘어가므로 해당 시차들에서 자기상관계수는 통계적으로 유의하다.

# 함수 auto.arima() 이용
pacman::p_load("forecast")

auto.ma.y2 <- auto.arima(y, max.q = 20,        # MA(1) ~ MA(20) 모형을 후보로 둠
                         max.p = 0, d = 0, 
                         max.P = 0,
                         max.Q = 0,
                         max.D = 0,
                         ic = "aic")           # AIC 기준으로 AIC가 가장 작은 모형을 최적 모형으로 선택

print(auto.ma.y2)
Series: y 
ARIMA(0,0,9) with non-zero mean 

Coefficients:
         ma1     ma2     ma3     ma4     ma5     ma6     ma7     ma8
      0.4223  0.3228  0.1538  0.1779  0.1662  0.1815  0.1813  0.1314
s.e.  0.0456  0.0504  0.0536  0.0541  0.0505  0.0436  0.0502  0.0448
         ma9    mean
      0.1123  3.9686
s.e.  0.0420  0.3843

sigma^2 = 9.214:  log likelihood = -1237.11
AIC=2496.22   AICc=2496.78   BIC=2542.39

Result! 관측된 시계열에 대해 AIC를 기준으로 최적의 모형은 MA(9) 모형이다. 모수 추정 결과에 따르면, \(\hat{\mu} = 3.9686\), \(\hat{\theta}_1=0.4223\), \(\hat{\theta}_2=0.3228\), \(\hat{\theta}_3=0.1538\), \(\hat{\theta}_4=0.1779\), \(\hat{\theta}_5=0.1662\), \(\hat{\theta}_6=0.1815\), \(\hat{\theta}_7=0.1813\), \(\hat{\theta}_8 = 0.1314\), \(\hat{\theta}_9=0.1123\), \(\hat{\sigma}^2_\epsilon = 9.214\)이다. 이를 이용하면 관측된 시계열에 대해 구축된 MA(9) 모형은 \[ \begin{align*} Y_t-3.9686 = & \; \epsilon_t + 0.4223\epsilon_{t-1}+0.3228\epsilon_{t-2}+0.1538\epsilon_{t-3}\\ &+ 0.1779\epsilon_{t-4}+0.1662\epsilon_{t-5}+0.1815\epsilon_{t-6} \\ &+0.1813\epsilon_{t-7}+ 0.1314\epsilon_{t-8} + 0.1123\epsilon_{t-9} \end{align*} \] 이다.

# 잔차를 이용한 모형 진단
Box.test(residuals(auto.ma.y2), lag = 10,
         type = "Ljung-Box",
         fitdf = 9)                 # MA 모형의 추정한 회귀 모수 theta 개수

    Box-Ljung test

data:  residuals(auto.ma.y2)
X-squared = 20.252, df = 1, p-value = 6.787e-06

Result! 귀무가설 \(H_0 : \rho(1)=\rho(2)=\cdots=\rho(10)=0\)에 대한 검정 결과에 따르면, \(p\)값이 0에 가까우이므로 유의수준 0.05에서 \(p\)값이 0.05보다 작기 때문에 귀무가설을 기각한다. 즉, 잔차에 대해 시차 10까지의 자기상관계수 \(\rho(1), \rho(2), \cdots, \rho(10)\) 중 유의한 자기상관계수가 적어도 1개 존재한다는 것을 의미하며, 해당 시계열에 대해 MA(9) 모형을 가정하는 것은 적절하지 않다.

# 잔차에 대한 상관도표그림
acf(residuals(auto.ma.y2))

Result! 시차 10-12까지 막대의 끝이 파란색 선을 넘어가므로 해당 시차들에서 자기상관계수는 통계적으로 유의하다.

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